Prímszámok
1. bevezetés
1.1. a prímszám definíciója
Prímszámok azok a
pozitív egész számok, amelyeknek pontosan 2 osztójuk van, tehát csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók. (Az
oszthatóságról egy másik blogbejegyzésben van részletesebben szó.)
1.2. Végtelen sok prímszám van, mert ha az első n
prímszámot összeszorozzuk, és a szorzathoz hozzáadunk 1-et, akkor az eredmény
csak olyan prímszámmal/prímszámokkal osztható, amely különbözik az első n
prímszámtól, és ez az állítás akármilyen nagy n esetén igaz. Itt n egy pozitív
egész számot jelöl.
1.3. A számelmélet alaptétele szerint minden 1-nél nagyobb
természetes szám felbontható 1 vagy több prímszám szorzatára.
1.4. Nevezetes prímszámok és prímszámcsoportok:
1.4.1. Ikerprímek azok a prímszámpárok, amelyek
két tagja között 2 a különbség. Az első 5 példa:
3, 5
5, 7
11, 13
17, 19
29, 31
1.4.2. Mersenne-prímek a (2^n)-1 alakban
felírható prímek, ahol n egy pozitív egész számot jelöl. Itt a ^ jel a
hatványozást jelöli. Az első 5 példa:
3, 7, 31, 127, 8191
1.4.3. Prímnégyesek azok a 4 tagú
prímszámcsoportok, amelyek tagjai felírhatók p, p+2, p+6, p+8 alakban. Az első
5 példa:
5, 7, 11, 13
11, 13, 17, 19
101, 103, 107, 109
191, 193, 197, 199
821, 823, 827, 829
2. feladatok
Az első 10 prímszám (2, 3, 5, 7, 11, 13,
17, 19, 23, 29) közül a lehető legkevesebb, egymástól különböző prímszám
felhasználásával fejezd ki a következő erősen összetett számokat úgy, hogy
összeadni, kivonni, szorozni, osztani és hatványozni is szabad. Az erősen
összetett számokról az oszthatósági témájú blogbejegyzésben van részletesebben
szó.
2.1. feladat
4 (A legkisebb 3
számmal osztható szám.)
2.2. feladat
6 (A legkisebb 4
számmal osztható szám, 3 faktoriálisa, az első 3 pozitív egész szám legkisebb
közös többszöröse.)
2.3. feladat
12 (A legkisebb 6
számmal osztható szám, az első 4 pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse.)
2.4. feladat
24 (A legkisebb 8
számmal osztható szám, 4 faktoriálisa.)
2.5. feladat
36 (A legkisebb 9
számmal osztható szám.)
2.6. feladat
48 (A legkisebb 10
számmal osztható szám.)
2.7. feladat
60 (A legkisebb 12
számmal osztható szám, az első 6 pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse.)
2.8. feladat
120 (A legkisebb 16
számmal osztható szám, 5 faktoriálisa.)
2.9. feladat
180 (A legkisebb 18
számmal osztható szám.)
2.10. feladat
240 (A legkisebb 20
számmal osztható szám.)
2.11. feladat
360 (A legkisebb 24
számmal osztható szám.)
2.12. feladat
720 (A legkisebb 30
számmal osztható szám, 6 faktoriálisa.)
2.13. feladat
840 (A legkisebb 32
számmal osztható szám, az első 8 pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse.)
2.14. feladat
1260 (A legkisebb 36
számmal osztható szám.)
2.15. feladat
1680 (A legkisebb 40
számmal osztható szám.)
2.16. feladat
2520 (A legkisebb 48
számmal osztható szám, az első 10 pozitív egész szám legkisebb közös
többszöröse.)
2.17. feladat
5040 (A legkisebb 60
számmal osztható szám, 7 faktoriálisa.)
2.18. feladat