Halmazok
1. Bevezetés
1.1. A halmaz definíciója
A halmaz tetszőleges
természetű dolgoknak valamilyen módon egyértelműen jellemzett összessége.
1.2. Metszet, unió
A C halmaz az A és a B halmazok
metszete, ha a C halmaz csak azokat
az elemeket tartalmazza, amelyeket az A
és a B halmazok is tartalmaznak.
A C halmaz az A és a B halmazok uniója,
ha a C halmaz az A és a B halmazok összes
elemét tartalmazza, viszont egyéb elemeket nem tartalmaz.
1.3. A részhalmazokról
Az A halmaz akkor részhalmaza B halmaznak, ha A minden eleme B-nek is
eleme.
Az A halmaz akkor valódi részhalmaza B halmaznak, ha az előbbi feltétel
teljesül, viszont B-nek van olyan
eleme, amely nem eleme A-nak.
Egy n elemű halmazból (n!)/((m!)*((n-m)!))-féleképpen
lehet m elemű részhalmazt
kiválasztani.
1.4. Halmazelmélet szempontjából fontos számok:
A háromszögszámok
n*(n+1)/2 alakban írhatók fel, ahol n egy pozitív egész szám. Bármilyen
elemszámú, legalább 2 elemet tartalmazó halmazból háromszögszám-féleképpen
lehet 2 elemű részhalmazt kiválasztani.
A tetraéderszámok
n*(n+1)*(n+2)/6 alakban írhatók fel, ahol n egy pozitív egész szám. Bármilyen
elemszámú, legalább 3 elemet tartalmazó halmazból tetraéderszám-féleképpen
lehet 3 elemű részhalmazt kiválasztani.
2. Feladatok
2.1. feladat
Az első 12 pozitív
egész szám halmaza:
{1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10, 11, 12}
Ebből a halmazból
képezz 4 elemű részhalmazokat úgy, hogy a részhalmaz elemeinek a szorzata
osztható legyen a részhalmaz elemeinek az összegével!
2.2. feladat
Az első 12
háromszögszám halmaza:
{1, 3, 6, 10, 15,
21, 28, 36, 45, 55, 66, 78}
Ebből a halmazból
képezz 4 elemű részhalmazokat úgy, hogy a részhalmaz elemeinek a szorzata
osztható legyen a részhalmaz elemeinek az összegével!
2.3. feladat
Az első 12
tetraéderszám halmaza:
{1, 4, 10, 20, 35,
56, 84, 120, 165, 220, 286, 364}
Ebből a halmazból
képezz 4 elemű részhalmazokat úgy, hogy a részhalmaz elemeinek a szorzata
osztható legyen a részhalmaz elemeinek az összegével!
2.4. feladat
Az első 12
négyzetszám halmaza:
{1, 4, 9, 16, 25,
36, 49, 64, 81, 100, 121, 144}
Ebből a halmazból
képezz 4 elemű részhalmazokat úgy, hogy a részhalmaz elemeinek a szorzata
osztható legyen a részhalmaz elemeinek az összegével!