Oszthatóság



Oszthatóság

1. bevezetés
Baranyi Zoltán vagyok, a Csopa blogjának az egyik szerzője. Matematikai tartalmakat fogok feltenni. Azt tartottam szem előtt, hogy mindenki számára érthetőek legyenek, ezért játékos módszerekkel, többnyire feladat-orientált módon dolgoztam ki a témákat, hiszen a Csodák Palotájának is az a küldetése, hogy játszva tanuljon és tanulva játsszon mindenki.
Az itt leírt dolgok a tökéletes számok és a barátságos számok kivételével mind a saját alkotómunkáim.
A tökéletes számokhoz és a barátságos számokhoz a Wikipédiát is felhasználtam.


2. oszthatóság - alapok
2.1. oszthatóság és prímszám definíciója
Legyen „a” és „b” is pozitív egész szám. Akkor mondjuk azt, hogy „b” szám osztója „a” számnak, ha van olyan egész szám, amellyel „b” számot megszorozva „a” számot kapjuk eredményül.
Prímszámok azok a pozitív egész számok, amelyeknek pontosan 2 osztójuk van, tehát csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók.
2.2. néhány oszthatósági szabály pozitív egész számoknál
Akkor osztható 2-vel egy szám, ha az utolsó számjegye is 2-vel osztható pozitív egész szám vagy 0.
Akkor osztható 3-mal egy szám, ha a számjegyeinek az összege is osztható 3-mal.
Akkor osztható 4-gyel egy szám, ha az utolsó két számjegyéből létrehozott szám is osztható 4-gyel vagy két 0-ra végződik.
Akkor osztható 5-tel egy szám, ha az utolsó számjegye 0 vagy 5.
Akkor osztható 6-tal egy szám, ha egyszerre teljesülnek rá a 2-vel és a 3-mal oszthatóság feltételei.
Akkor osztható 8-cal egy szám, ha az utolsó három számjegyéből létrehozott szám is osztható 8-cal vagy három 0-ra végződik.
Akkor osztható 9-cel egy szám, ha a számjegyeinek az összege is osztható 9-cel.
3. osztók száma
3.1. osztószám kiszámítása
1-nek 1 osztója van.
Ha p1, p2, p3 … pn egymástól különböző prímszámokat jelöl, és a1, a2, a3 … an pozitív egész számokat jelöl, akkor
(p1^a1)*(p2^a2)*(p3^a3)*…*(pn^an) osztóinak a száma (a1+1)*(a2+1)*(a3+1)*…*(an+1).
Itt a ^ jel a hatványozást jelöli.
3.2. érdekességek
3.2.1. az 1. érdekesség
1 a legkisebb 1 számmal osztható szám.
2 a legkisebb 2 számmal osztható szám.
4 a legkisebb 3 számmal osztható szám.
6 a legkisebb 4 számmal osztható szám.
12 a legkisebb 6 számmal osztható szám.
16 a legkisebb 5 számmal osztható szám.
24 a legkisebb 8 számmal osztható szám.
36 a legkisebb 9 számmal osztható szám.
48 a legkisebb 10 számmal osztható szám.
60 a legkisebb 12 számmal osztható szám.
64 a legkisebb 7 számmal osztható szám.
120 a legkisebb 16 számmal osztható szám.
144 a legkisebb 15 számmal osztható szám.
180 a legkisebb 18 számmal osztható szám.
192 a legkisebb 14 számmal osztható szám.
240 a legkisebb 20 számmal osztható szám.
360 a legkisebb 24 számmal osztható szám.
576 a legkisebb 21 számmal osztható szám.
720 a legkisebb 30 számmal osztható szám.
840 a legkisebb 32 számmal osztható szám.
900 a legkisebb 27 számmal osztható szám.
960 a legkisebb 28 számmal osztható szám.
1024 a legkisebb 11 számmal osztható szám.
1260 a legkisebb 36 számmal osztható szám.
1296 a legkisebb 25 számmal osztható szám.
1680 a legkisebb 40 számmal osztható szám.
2520 a legkisebb 48 számmal osztható szám.
3072 a legkisebb 22 számmal osztható szám.
4096 a legkisebb 13 számmal osztható szám.
5040 a legkisebb 60 számmal osztható szám.
6300 a legkisebb 54 számmal osztható szám.
6720 a legkisebb 56 számmal osztható szám.
7560 a legkisebb 64 számmal osztható szám.
10080 a legkisebb 72 számmal osztható szám.
12288 a legkisebb 26 számmal osztható szám.
15120 a legkisebb 80 számmal osztható szám.
20160 a legkisebb 84 számmal osztható szám.
25200 a legkisebb 90 számmal osztható szám.
27720 a legkisebb 96 számmal osztható szám.
45360 a legkisebb 100 számmal osztható szám.
50400 a legkisebb 108 számmal osztható szám.
55440 a legkisebb 120 számmal osztható szám.
65536 a legkisebb 17 számmal osztható szám.
83160 a legkisebb 128 számmal osztható szám.
110880 a legkisebb 144 számmal osztható szám.
166320 a legkisebb 160 számmal osztható szám.
196608 a legkisebb 34 számmal osztható szám.
221760 a legkisebb 168 számmal osztható szám.
262144 a legkisebb 19 számmal osztható szám.
277200 a legkisebb 180 számmal osztható szám.
332640 a legkisebb 192 számmal osztható szám.
498960 a legkisebb 200 számmal osztható szám.
554400 a legkisebb 216 számmal osztható szám.
665280 a legkisebb 224 számmal osztható szám.
720720 a legkisebb 240 számmal osztható szám.
786432 a legkisebb 38 számmal osztható szám.
4194304 a legkisebb 23 számmal osztható szám.
12582912 a legkisebb 46 számmal osztható szám.
268435456 a legkisebb 29 számmal osztható szám.
805306368 a legkisebb 58 számmal osztható szám.
1073741824 a legkisebb 31 számmal osztható szám.
3221225472 a legkisebb 62 számmal osztható szám.
68719476736 a legkisebb 37 számmal osztható szám.
Ezek közül a 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560, 10080, 15120, 20160, 25200, 27720, 45360, 50400, 55440, 83160, 110880, 166320, 221760, 277200, 332640, 498960, 554400, 665280 és 720720 erősen összetett számok, vagyis több osztójuk van bármelyik náluk kisebb pozitív egész számnál. Ezen kívül – a hivatalos definíció alapján – az 1 és a 2 is erősen összetett számok annak ellenére, hogy 1-nek csak 1 osztója van, a 2 pedig prímszám.
3.2.2. a 2. érdekesség
2, 3 a legkisebb olyan 2 egymást követő pozitív egész szám, ahol mindkét számnak ugyanannyi osztója van.
33, 34, 35 a legkisebb olyan 3 egymást követő pozitív egész szám, ahol mindhárom számnak ugyanannyi osztója van.
242, 243, 244, 245 a legkisebb olyan 4 egymást követő pozitív egész szám, ahol mind a négy számnak ugyanannyi osztója van.
4. osztók összege
4.1. osztóösszeg kiszámítása
1 osztóinak az összege 1.
Ha p1, p2, p3 … pn egymástól különböző prímszámokat jelöl, és a1, a2, a3 … an pozitív egész számokat jelöl, akkor
(p1^a1)*(p2^a2)*(p3^a3)*…*(pn^an) osztóinak az összege ((p1^a1)+(p1^(a1-1))+(p1^(a1-2))+…
+p1+1)*((p2^a2)+(p2^(a2-1))+(p2^(a2-2))+…+p2+1)*((p3^a3)+(p3^(a3-1))+(p3^(a3-2))+…+p3+1)*…*((pn^an)+(pn^(an-1))+(pn^(an-2))+…+pn+1)
4.2. érdekességek
4.2.1. az 1. érdekesség
12 a legkisebb olyan szám, amely egyszerre 2 szám osztójának az összegeként állítható elő.
Ezek a számok: 6, 11
24 a legkisebb olyan szám, amely egyszerre 3 szám osztójának az összegeként állítható elő.
Ezek a számok: 14, 15, 23
72 a legkisebb olyan szám, amely egyszerre 5 szám osztójának az összegeként állítható elő.
Ezek a számok: 30, 46, 51, 55, 71
168 a legkisebb olyan szám, amely egyszerre 6 szám osztójának az összegeként állítható elő.
Ezek a számok: 60, 78, 92, 123, 143, 167
240 a legkisebb olyan szám, amely egyszerre 7 szám osztójának az összegeként állítható elő.
Ezek a számok: 114, 135, 158, 177, 203, 209, 239
336 a legkisebb olyan szám, amely egyszerre 8 szám osztójának az összegeként állítható elő.
Ezek a számok: 132, 140, 182, 188, 195, 249, 287, 299
360 a legkisebb olyan szám, amely egyszerre 9 szám osztójának az összegeként állítható elő.
Ezek a számok: 120, 174, 184, 190, 267, 295, 319, 323, 359
504 a legkisebb olyan szám, amely egyszerre 10 szám osztójának az összegeként állítható elő.
Ezek a számok: 204, 220, 224, 246, 284, 286, 334, 415, 451, 503
576 a legkisebb olyan szám, amely egyszerre 11 szám osztójának az összegeként állítható elő.
Ezek a számok: 210, 282, 310, 322, 345, 357, 382, 385, 497, 517, 527
720 a legkisebb olyan szám, amely egyszerre 15 szám osztójának az összegeként állítható elő.
Ezek a számok: 264, 270, 280, 354, 376, 406, 418, 435, 459, 478, 537, 623, 649, 667, 719
4.2.2. további érdekességek
14, 15 két egymást követő egész szám, és mindkét számnak ugyanannyi az osztóinak az összege: 24.
16, 25 két egymást követő négyzetszám, és mindkét számnak ugyanannyi az osztóinak az összege: 31.
69 osztóinak az összege a szám fordítottja: 96.
270 osztóinak az összege 720, ami ugyanazokból a számjegyekből áll, mint a 270.
4.3. tökéletes számok
Tökéletes számnak nevezzük azokat a természetes számokat, amelyek megegyeznek az önmaguknál kisebb osztóik összegével.
Az első 5 tökéletes szám: 6, 28, 496, 8128, 33550336
4.4. barátságos számok
Azokat a számpárokat, amelyekre igaz, hogy az egyik szám önmagánál kisebb osztóinak összege a másik számmal egyenlő és fordítva, barátságos számoknak hívjuk.
barátságos számpárok:
220, 284
1184, 1210
2620, 2924
5020, 5564
6232, 6368
10744, 10856
12285, 14595
17296, 18416
63020, 76084
66928, 66992
67095, 71145
69615, 87633
79750, 88730
100485, 124155
122265, 139815
122368, 123152
141664, 153176
142310, 168730
171856, 176336
176272, 180848
185368, 203432
196724, 202444
280540, 365084
308620, 389924
319550, 430402
356408, 399592
437456, 455344
469028, 486178
503056, 514736
522405, 525915
600392, 669688
609928, 686072
624184, 691256
635624, 712216
643336, 652664
667964, 783556
726104, 796696
802725, 863835
879712, 901424
898216, 980984



Matek Park rovatunk további cikkei itt érhetők el.