Prímszámok


Prímszámok

A címlapkép forrása:
A kép egy Ulam spirált ábrázol. A spirál láncszemei a láncszem sorszámának az osztószámát jelölik.


1. bevezetés
1.1. a prímszám definíciója
Prímszámok azok a pozitív egész számok, amelyeknek pontosan 2 osztójuk van, tehát csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók. (Az oszthatóságról egy másik blogbejegyzésben van részletesebben szó.)
1.2. Végtelen sok prímszám van, mert ha az első n prímszámot összeszorozzuk, és a szorzathoz hozzáadunk 1-et, akkor az eredmény csak olyan prímszámmal/prímszámokkal osztható, amely különbözik az első n prímszámtól, és ez az állítás akármilyen nagy n esetén igaz. Itt n egy pozitív egész számot jelöl.
1.3. A számelmélet alaptétele szerint minden 1-nél nagyobb természetes szám felbontható 1 vagy több prímszám szorzatára.
1.4. Nevezetes prímszámok és prímszámcsoportok:
1.4.1. Ikerprímek azok a prímszámpárok, amelyek két tagja között 2 a különbség. Az első 5 példa:
3, 5
5, 7
11, 13
17, 19
29, 31
1.4.2. Mersenne-prímek a (2^n)-1 alakban felírható prímek, ahol n egy pozitív egész számot jelöl. Itt a ^ jel a hatványozást jelöli. Az első 5 példa:
3, 7, 31, 127, 8191
1.4.3. Prímnégyesek azok a 4 tagú prímszámcsoportok, amelyek tagjai felírhatók p, p+2, p+6, p+8 alakban. Az első 5 példa:
5, 7, 11, 13
11, 13, 17, 19
101, 103, 107, 109
191, 193, 197, 199
821, 823, 827, 829

2. feladatok
Az első 10 prímszám (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29) közül a lehető legkevesebb, egymástól különböző prímszám felhasználásával fejezd ki a következő erősen összetett számokat úgy, hogy összeadni, kivonni, szorozni, osztani és hatványozni is szabad. Az erősen összetett számokról az oszthatósági témájú blogbejegyzésben van részletesebben szó.
2.1. feladat
4 (A legkisebb 3 számmal osztható szám.)
2.2. feladat
6 (A legkisebb 4 számmal osztható szám, 3 faktoriálisa, az első 3 pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse.)
2.3. feladat
12 (A legkisebb 6 számmal osztható szám, az első 4 pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse.)
2.4. feladat
24 (A legkisebb 8 számmal osztható szám, 4 faktoriálisa.)
2.5. feladat
36 (A legkisebb 9 számmal osztható szám.)
2.6. feladat
48 (A legkisebb 10 számmal osztható szám.)
2.7. feladat
60 (A legkisebb 12 számmal osztható szám, az első 6 pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse.)
2.8. feladat
120 (A legkisebb 16 számmal osztható szám, 5 faktoriálisa.)
2.9. feladat
180 (A legkisebb 18 számmal osztható szám.)
2.10. feladat
240 (A legkisebb 20 számmal osztható szám.)
2.11. feladat
360 (A legkisebb 24 számmal osztható szám.)
2.12. feladat
720 (A legkisebb 30 számmal osztható szám, 6 faktoriálisa.)
2.13. feladat
840 (A legkisebb 32 számmal osztható szám, az első 8 pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse.)
2.14. feladat
1260 (A legkisebb 36 számmal osztható szám.)
2.15. feladat
1680 (A legkisebb 40 számmal osztható szám.)
2.16. feladat
2520 (A legkisebb 48 számmal osztható szám, az első 10 pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse.)
2.17. feladat
5040 (A legkisebb 60 számmal osztható szám, 7 faktoriálisa.)
2.18. feladat
7560 (A legkisebb 64 számmal osztható szám.)